Question

9．已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如表：

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示：
下列关于函数f（x）的命题：
①函数y=f（x）是周期函数；
②函数f（x）在[0，2]是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点．
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0，1，2，3，4．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得①错误，②正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[-1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论．

解答 解：由导数图象可知，当-1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，
当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，
当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），
所以①错误；②正确；
因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，
要使当x∈[-1，t]函数f（x）的最大值是4，
当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；
由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，
所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，所以④不正确，
根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），

根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，
由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，
综上正确的命题序号为②⑤．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．