Question

（本小题满分13分）

已知椭圆Ω：的焦距为，且经过点．

(Ⅰ)求椭圆Ω的方程；

(Ⅱ)A是椭圆Ω与轴正半轴的交点, 椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）存在，符合条件的三角形有个.

【解析】

试题分析：先用待定系数法求出椭圆方程，因为，直角边AM，AN不可能垂直或平行于轴，设的斜率为，则的斜率为，写出的直线方程，分别与椭圆方程联立，解出点的坐标，同理把，写出点的坐标，求出，由，列出方程求出值.

试题解析：(Ⅰ)由题解得，．所以椭圆Ω的方程为．

(Ⅱ)由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于轴，故可设AM所在直线的方程为，不妨设，则直线AM所在的方程为．

联立方程消去整理得，解得，将代入可得，故点.

所以．

同理可得，由，得，

所以，则，解得或．

当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率．

综上所述，符合条件的三角形有个.

考点：1.求椭圆方程；2.设而不求思想；3.灵活运用方程组和一元二次方程的根及根与系数关系；4.存在性命题的解法；