Question

4．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{y＜0}\\{y≥-nx-3n}\end{array}\right.$所表示的平面区域为D_n，记D_n内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为f（n）（n∈N^*）．
（1）求f（1），f（2）的值及f（n）的表达式；
（2）记数列{f（n）}的前n项和为S_n，若S_n＞λn对任意正整数n恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（1）=3，f（2）=6．当x=-1时，y取值为-1，-2，…，-2n，当x=-2时，y取值为-1，-2，…，-n，即可得出格点的个数．
（2）由等差数列的前n项和公式可得：S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，S_n＞λn对任意正整数n恒成立，化为λ＜$\frac{3+3n}{2}$，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（1）=3，f（2）=6．
当x=-1时，y取值为-1，-2，-3，…，-2n，共有2n个格点．
当x=-2时，y取值为-1，-2，-3，…，-n，共有n个格点．
∴f（n）=n+2n=3n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∵S_n＞λn对任意正整数n恒成立，
∴$\frac{n（3+3n）}{2}$＞λn，化为λ＜$\frac{3+3n}{2}$，
∴λ＜3．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，线性规划问题、不等式的性质、恒成立问题的等价转化问题，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．