Question

6．已知函数$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$．
（1）求f（x）的最小值；
（2）若方程f（x）=a有两个根x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）问题转化为$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，设$\frac{x_2}{x_1}=t（t＞1）$，则$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，问题等价于$t-\frac{1}{t}＞2lnt$．令$g（t）=t-\frac{1}{t}-2lnt$，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}，（x＞0）$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故f（x）的最小值为f（1）=1．
（2）证明：若方程f（x）=a有两个根x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），
则$ln{x_1}+\frac{1}{x_1}=ln{x_2}+\frac{1}{x_2}$，即$\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}=ln\frac{x_2}{x_1}＞0$．
要证x₁+x₂＞2，需证$（{x_1}+{x_2}）•\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，
即证$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，
设$\frac{x_2}{x_1}=t（t＞1）$，则$\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}＞2ln\frac{x_2}{x_1}$，
等价于$t-\frac{1}{t}＞2lnt$．
令$g（t）=t-\frac{1}{t}-2lnt$，则$g'（t）=1+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}={（1-\frac{1}{t}）^2}＞0$，
所以g（t）在（1，+∞）上单调递增，
g（t）＞g（1）=0，
即$t-\frac{1}{t}＞2lnt$，
故x₁+x₂＞2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．