Question

6．如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与△ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点．
（1）证明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半径，且$AE=MN=2\sqrt{3}$，求四边形EBCF的面积．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质先判断AD是∠CAB的平分线，再根据切线长定理得到AE=AF，接着利用等腰三角形的性质判断AD⊥EF，然后根据平行线的判定可得到结论；
（2）先证明AD是EF的垂直平分线得到O在AD上；连结OE，OM，再根据切线的性质得到OE⊥AE，接着证明△ABC和△AEF都是等边三角形，则根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系计算出OE、AO，再利用勾股定理计算出OD，然后根据等边三角形的面积公式，利用四边形EBCF的面积=S_△ABC-S_△AEF进行计算即可．

解答 （1）证明：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的平分线，
又∵☉O分别与AB，AC相切于点E，F，
∴AE=AF，
∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知，AE=AF，AD⊥EF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴O在AD上；
连结OE，OM，
∵AB为切线，
∴OE⊥AE，
∴AG=OG=OE，
即AO=2OE，
∴∠OAE=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△ABC和△AEF都是等边三角形，
∴AE=2 $\sqrt{3}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=2，AO=2OE=4，
∵OM=OE=2，DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，
∴OD═1，
∴AD=AO+OD=5，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=2BD=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴四边形EBCF的面积=S_△ABC-S_△AEF
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（ $\frac{10\sqrt{3}}{3}$）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2 $\sqrt{3}$）²
=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了等腰三角形和等边三角形的判定与性质．记住含30度的直角三角形三边的关系可方便求直角三角形的边长．