Question

4．若数列{a_n}是正项数列，且$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n$，则$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{a_n}{n+1}$=2n²+6n．

Answer 1

分析 由已知数列递推式求出首项，并得到当n≥2时，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n-1}}=（n-1）^{2}+3（n-1）$．与原递推式作差可得数列通项公式，进一步得到$\frac{{a}_{n}}{n+1}$，再由等差数列的前n项和求解．

解答 解：由$\sqrt{a_1}+\sqrt{a_2}+…+\sqrt{a_n}={n^2}+3n$，
令n=1，得$\sqrt{{a}_{1}}=4$，∴a₁=16．
当n≥2时，$\sqrt{{a}_{1}}+\sqrt{{a}_{2}}+…+\sqrt{{a}_{n-1}}=（n-1）^{2}+3（n-1）$．
与已知递推式作差，得$\sqrt{{a}_{n}}=（{n}^{2}+3n）-（n-1）^{2}-3（n-1）=2n+2$．
∴${a}_{n}=4（n+1）^{2}$，
当n=1时，a₁适合上式，
∴${a}_{n}=4（n+1）^{2}$，
则$\frac{{a}_{n}}{n+1}=4n+4$．
∴$\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+\frac{a_3}{4}+…+\frac{a_n}{n+1}$=4（1+2+…+n）+4n=4×$\frac{n（n+1）}{2}+4n$=2n²+6n．
故答案为：2n²+6n．

点评 本题考查数列递推式，考查数列通项公式的求法，是中档题．