Question

10．如图，在△ABC中，点D是BC延长线上的点，$\overline{BC}$=3$\overline{CD}$，O在线段CD上且不与端点重合，若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+（1-x）$\overrightarrow{AC}$，则x的取值范围是（$-\frac{1}{3}$，0）．

Answer 1

分析 结合图形，根据向量加法，$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CO}$，可以想着用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$来表示$\overrightarrow{AO}$，根据已知条件知$\overrightarrow{CO}=k\overrightarrow{CD}=\frac{k}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，其中0＜k＜1，从而便可得到$\overrightarrow{AO}=-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}+（1+\frac{k}{3}）\overrightarrow{AC}$，从而x=$-\frac{k}{3}$，从而根据k的范围即可求出x的范围．

解答 解：$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CO}$；
O在线段CD上且不与端点重合；
∴存在k，0＜k＜1，使$\overrightarrow{CO}=k\overrightarrow{CD}$；
又$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{CD}$；
∴$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+\frac{k}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$-\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}+（1+\frac{k}{3}）\overrightarrow{AC}$；
又$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+（1-x）\overrightarrow{AC}$；
∴$x=-\frac{k}{3}$；
∴$-\frac{1}{3}＜x＜0$；
∴x的取值范围是$（-\frac{1}{3}，0）$．
故答案为：（$-\frac{1}{3}$，0）．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，向量数乘的运算．