Question

5．已知a，b∈R，在（ax+$\frac{2b}{x}$）⁸的展开式中，第二项系数为正，各项系数和为256，则该展开式中的常数项的取值范围是（0，70]．

Answer 1

分析 根据题意可得a+2b=2，a＞0，b＞0，再根据基本不等式求出0＜ab≤$\frac{1}{2}$，根据二项式展开式的通项公式，求出展开式的常数项，即可得取值范围

解答 解：（ax+$\frac{2b}{x}$）⁸的展开式中，令x=1可得各项系数之和为（a+2b）⁸=256=2⁸，a+2b=2，
又C₈¹a⁷•2b＞0，
∴ab＞0，
∴a＞0，b＞0，
∴2=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，当且仅当a=1，b=$\frac{1}{2}$时取等号，
即0＜ab≤$\frac{1}{2}$，
∵（ax+$\frac{2b}{x}$）⁸的展开式中的通项为C₈^ra^8-r•（2b）^rx^8-2r，
令8-2r=0，解得r=4，
则该展开式中的常数项为C₈⁴a⁴•（2b）⁴=70（2ab）⁴≤70，
故该展开式中的常数项的取值范围是（0，70]，
故答案为：（0，70]

点评 本题主要考查二项式定理的应用和基本不等式的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．