Question

13．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$的最小值是（　　）

• A． -1
• B． $-\frac{4}{3}$
• C． $-\frac{3}{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 建立坐标系，设P（x，y），得出$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$关于x，y的表达式，配方即可得出结论．

解答 解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，
则A（0，$\sqrt{3}$），设P（x，y），则$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}$=（-2x，-2y），$\overrightarrow{PA}$=（-x，$\sqrt{3}$-y），
∴$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$=2x²+2y²-2$\sqrt{3}$y=2x²+2（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²-$\frac{3}{2}$，
∴当x=0，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，$\overrightarrow{PA}•（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$取得最小值-$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．