Question

5．如图，椭圆与双曲线有公共焦点F₁，F₂，它们在第一象限的交点为A，且AF₁⊥AF₂
∠AF₁F₂=30°，则椭圆与双曲线的离心率的之积为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 运用椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式和解直角三角形的有关知识，化简计算即可得到．

解答 解：设椭圆的长轴长为2a₁，焦距为2c，双曲线的实轴长2a₂，焦距为2c，
由椭圆的定义可知，丨AF₁丨+丨AF₂丨=2a₁，
由双曲线的定义：丨AF₁丨-丨AF₂丨=2a₂，
在Rt△AF₁F₂中，∠AF₁F₂=30°，
则丨AF₂丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=c，丨AF₁丨=$\frac{\sqrt{3}}{2}$丨F₁F₂丨=$\sqrt{3}$c，
则有2a₁=（$\sqrt{3}$+1）c，2a₂=（$\sqrt{3}$-1）c，
则离心率e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$，
e₁×e₂=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$×$\frac{2}{\sqrt{3}-1}$=2，
则椭圆与双曲线的离心率的之积2，
故选：A．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率公式，三角形的性质，考查运算能力，属于中档题．