Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n＝1－b_n.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)记c_n＝a_n·b_n，求证：c_n＋1≤c_n.

Answer 1

(1)解析：因为a₃，a₅是方程x²－14x＋45＝0的两根，且数列{a_n}的公差d>0，

∴a₃＝5，a₅＝9，公差d＝＝2.

∴a_n＝a₅＋(n－5)d＝2n－1(n∈N^*)．

又当n＝1时，有b₁＝S₁＝1－b₁，∴b₁＝.

当n≥2时，有b_n＝S_n－S_n－1＝(b_n－1－b_n)，

∴＝(n≥2)，

∴数列{b_n}是等比数列，b₁＝，q＝.

∴b_n＝b₁q^n－1＝(n∈N^*)．

(2)证明：由(1)知c_n＝a_nb_n＝，c_n＋1＝，

∴c_n＋1－c_n＝≤0.

∴c_n＋1≤c_n.