Question

已知函数f(x)＝ (k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝(x²＋x)f ′(x)，其中f ′(x)为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，g(x)<1＋e^－2.

Answer 1

 (1)解：由f(x)＝，

得f ′(x)＝，x∈(0，＋∞)，

由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行．

所以f ′(1)＝0，因此k＝1.

(2)解：由(1)得f ′(x)＝ (1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，

令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.

又e^x>0，所以当x∈(0,1)时，f ′(x)>0；

当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．

(3)证明：因为g(x)＝(x²＋x)f ′(x)，

所以g(x)＝ (1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)．

因此，对任意x>0，g(x)<1＋e^－2等价于1－x－xlnx< (1＋e^－2)．

由(2)知h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝－lnx－2＝－(lnx－lne^－2)，x∈(0，＋∞)．

因此，当x∈(0，e^－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；

当x∈(e^－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．

所以h(x)的最大值为h(e^－2)＝1＋e^－2.

故1－x－xlnx≤1＋e^－2.

设φ(x)＝e^x－(x＋1)，则φ′(x)＝e^x－1＝e^x－e⁰，

所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，

故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e^x－(x＋1)>0，

即>1.

所以1－x－xlnx≤1＋e^－2< (1＋e^－2)．

因此对任意x>0，g(x)<1＋e^－2.