Question

3．如已知a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+156}$（n∈N^*），则数列{a_n}的最大项为12项或13项．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是数列的函数特性，由数列的通项公式，我们利用函数求最值的方法及给出数列的最大项，但要注意数列中自变量n∈N⁺的限制．

解答 解：∵a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+156}$=$\frac{1}{n+\frac{156}{n}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{156}{n}}}$=$\frac{1}{4\sqrt{39}}$，当且仅当n=2$\sqrt{39}$时取等，
又由n∈N⁺，
故数列{a_n}的最大项可能为第12项或第13项．
又∵当n=12时，a₁₂=$\frac{12}{1{2}^{2}+156}$=$\frac{1}{25}$
又∵当n=13时，a₁₃=$\frac{13}{1{3}^{2}+156}$=$\frac{1}{25}$
故第12项或第13项均为最大项，
故答案为：12项或13项．

点评 本题考查了数列的单调性、基本不等式的性质，属于中档题．