Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为A_n，对任意n∈N^*满足$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}$-$\frac{A_n}{n}$=$\frac{1}{2}$，且a₁=1，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N*），b₃=5，其前9项和为63．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{b_n}{a_n}$+$\frac{a_n}{b_n}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，若对任意正整数n，都有T_n≥2n+a，求实数a的取值范围；
（3）将数列{a_n}，{b_n}的项按照“当n为奇数时，a_n放在前面；当n为偶数时，b_n放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a₁，b₁，b₂，a₂，a₃，b₃，b₄，a₄，a₅，b₅，b₆，…，求这个新数列的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}-\frac{A_n}{n}=\frac{1}{2}$，利用等差数列通项公式可得A_n，再利用递推关系可得a_n．由b_n+2-2b_n+1+b_n=0，可得数列
{b_n}是等差数列，利用等差数列的求和公式与通项公式即可得出．
（2）由（1）知${c_n}=\frac{b_n}{a_n}+\frac{a_n}{b_n}=\frac{n+2}{n}+\frac{n}{n+2}=2+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．
（3）数列{a_n}的前n项和${A_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，数列{b_n}的前n项和${B_n}=\frac{n（n+5）}{2}$．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{{{A_{n+1}}}}{n+1}-\frac{A_n}{n}=\frac{1}{2}$，∴数列$\left\{{\frac{A_n}{n}}\right\}$是首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{A_n}{n}={A_1}+（n-1）×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$，即${A_n}=\frac{n（n+1）}{2}（n∈{N^*}）$，
∴${a_{n+1}}={A_{n+1}}-{A_n}=\frac{（n+1）（n+2）}{2}-\frac{n（n+1）}{2}=n+1（n∈{N^*}）$，
又a₁=1，∴${a_n}=n（n∈{N^*}）$，
∵b_n+2-2b_n+1+b_n=0，∴数列{b_n}是等差数列，
设{b_n}的前n项和为B_n，∵${B_9}=\frac{{9（{b_3}+{b_7}）}}{2}=63$且b₃=5，
∴b₇=9，∴{b_n}的公差为$\frac{{{b_7}-{b_3}}}{7-3}=\frac{9-5}{7-3}=1$，${b_n}=n+2（n∈{N^*}）$．
（2）由（1）知${c_n}=\frac{b_n}{a_n}+\frac{a_n}{b_n}=\frac{n+2}{n}+\frac{n}{n+2}=2+2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=$2n+2（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$2n+2（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$2n+3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
∴${T_n}-2n=3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
设${R_n}=3-2（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，则${R_{n+1}}-{R_n}=2（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）=\frac{4}{（n+1）（n+3）}＞0$，
∴数列{R_n}为递增数列，
∴${（{R_n}）_{min}}={R_1}=\frac{4}{3}$，
∵对任意正整数n，都有T_n-2n≥a恒成立，∴$a≤\frac{4}{3}$．
（3）数列{a_n}的前n项和${A_n}=\frac{n（n+1）}{2}$，数列{b_n}的前n项和${B_n}=\frac{n（n+5）}{2}$．
①当n=2k（k∈N^*）时，${S_n}={A_k}+{B_k}=\frac{k（k+1）}{2}+\frac{k（k+5）}{2}={k^2}+3k$；
②当n=4k+1（k∈N^*）时，${S_n}={A_{2k+1}}+{B_{2k}}=\frac{（2k+1）（2k+2）}{2}+\frac{2k（2k+5）}{2}$=4k²+8k+1，
特别地，当n=1时，S₁=1也符合上式；
③当n=4k-1（k∈N^*）时，${S_n}={A_{2k-1}}+{B_{2k}}=\frac{（2k-1）2k}{2}+\frac{2k（2k+5）}{2}=4{k^2}+4k$．
综上：${S_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{n^2}+\frac{3}{2}n，n=2k}\\{\frac{{{n^2}+6n-3}}{4}，n=4k-3}\\{\frac{{{n^2}+6n+5}}{4}，n=4k-1}\end{array}}\right.$，k∈N^*…（16分）

点评 本题考查了数列的递推关系、等差数列通项公式与求和公式、数列的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．