Question

方程

x2

a

+

y2

b

=1（a，b∈{1，2，3，4，…，2013}）的曲线中，所有圆面积的和等于

 

，离心率最小的椭圆方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）当a=b=1，2，3，…2013时，方程表示的曲线为圆，设圆的半径是r，则r²=1，2，3…，2013，代入圆的面积公式，求出所有圆面积的和等于多少即可；
（2）根据离心率的求法，要离心率最小，则应满足a、b的差最小，据此求出离心率的最小值，以及对应的椭圆的方程即可．

解答： 解：当a=b=1，2，3，…2013时，方程表示的曲线为圆，
设圆的半径是r，则r²=1，2，3…，2013，
根据圆的面积公式，可得所有圆面积的和为：
π（1+2+3+…+2013）=π•

(1+2013)×2013

2

=2027091π；
要离心率最小，则应满足a、b的差最小，
①当a＞b时，a=2013，b=2012时，离心率最小为

2013-2012

2013

=

2013

2013

，
此时椭圆的方程为：

x2

2013

+

y2

2012

=1；
②当a＜b时，a=2012，b=2013时，离心率最小为

2013-2012

2013

=

2013

2013

，
此时椭圆的方程为：

y2

2013

+

x2

2012

=1．
故答案为：2027091π；

x2

2013

+

y2

2012

=1或

y2

2013

+

x2

2012

=1．

点评：此题主要考查了椭圆的基本性质，以及分类讨论思想的运用，考查了圆的特征以及面积公式的运用，属于基础题．