Question

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为

2

3

，乙获胜的概率为

1

3

，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．

解答： 解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A_k表示第k局甲获胜，B_k表示第k局乙获胜，
则P（A_k）=

2

3

，P（B_k）=

1

3

，k=1，2，3，4，5
（Ⅰ）P（A）=P（A₁A₂）+P（B₁A₂A₃）+P（A₁B₂A₃A₄）=（

2

3

）²+

1

3

×（

2

3

）²+

2

3

×

1

3

×（

2

3

）²=

56

81

．
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=

5

9

，
P（X=3）=P（B₁A₂A₃）+P（A₁B₂B₃）=

2

9

，
P（X=4）=P（A₁B₂A₃A₄）+P（B₁A₂B₃B₄）=

10

81

，
P（X=5）=P（A₁B₂A₃B₄A₅）+P（B₁A₂B₃A₄B₅）+P（B₁A₂B₃A₄A₅）+P（A₁B₂A₃B₄B₅）=

24

243

=

8

81

，
或者P（X=5）=1-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=

8

81

，
故分布列为：

X	2	3	4	5
P	5 9	2 9	10 81	8 81

E（X）=2×

5

9

+3×

2

9

+4×

10

81

+5×

8

81

=

224

81

．

点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．