Question

15．设F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0（O为坐标原点），且3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 5

Answer 1

分析 根据（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0得到△F₁PF₂是直角三角形，根据双曲线的定义结合直角三角形的勾股定理建立方程关系进行求解即可．

解答 解：设PF₂的中点为A，则$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{OA}$，
若（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0
∴2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，即$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
∵OA是△F₁PF₂的中位线，
∴OA∥PF₁，且PF₁⊥PF₁，
∵3|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=4|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
∵|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，
即|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=6a，
则∴|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=$\frac{4}{3}$|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=8a，
∵在直角△F₁PF₂中，|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|²=|F₁F₂|²，
∴36a²+64a²=4c²，
即100a²=4c²，
则c=5a，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=5，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的应用判断三角形是直角三角形是解决本题的关键．