Question

（本题满分12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与坐标原点距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由.

 

Answer 1

（1）（2）存在。

【解析】

试题分析：（1）先由两点式求出直线方程，再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出，即可求得；（2）假设存在这样的直线，联立直线方程和椭圆方程，消去y，得到x的一元二次方程，求出两根之和和两根之积，要使以CD为直径的圆过点E，当且仅当CE⊥DE时，则，再利用y=kx+2，将上式转化，最后求得，并验证。

试题解析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab＝0

依题意 解得

∴ 椭圆方程为

（2）假设存在这样的k值，由得

∴ ①

设， ，，则 ②

而 8分

要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即

∴ ③

将②式代入③整理解得 经验证，，使①成立

综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E 。

考点：1、椭圆的相关知识；2、直线与椭圆的相交问题。