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(本小题满分14分)
已知函数.
(1)求证:函数上是单调递增函数;
(2)当时,求函数在上的最值;
(3)函数上恒有成立,求的取值范围.

(1) 函数上是单调递增函数. (2) 的最小值为,此时;无最大值. (3) 的取值范围是

解析试题分析:(1)证明函数上是单调递增函数本质就是证明上恒成立.
(2)当时,令,然后得到极值点,进而求出极值,再与值比较从而得到f(x)的最大值与最小值.
(3) 函数上恒有成立问题应转化为,
然后利用导数研究f(x)在区间[1,2]的极值,最值即可求出其最小值,问题得解.
(1)(法一:定义法)
任取,则.                ········1分

.                                                 ·······3分
∴ 函数上是单调递增函数.                           ········4分
(法二:导数法)

∴ 函数上是单调递增函数.                           ········4分
(2) 当时,
由(1)知函数上是单调递增函数.                      ·······5分
,即                              ·······7分
的最小值为,此时;无最大值.                       ·······8分
(3) 依题意, ,即上恒成立.
∵函数上单调递减,∴                  ······11分

. ∴
的取值范围是.                                           ·······14分
考点:导数在研究函数单调性,极值,最值当中的应用.
点评:(1)连续可导函数在某个区间I上单调递增(减)等价于在区间I上恒成立.
(2)在求某个区间上的最值时,应先求出极值,然后从极值与区间端点对应的函数值当中找到最大值和最小值.
(3)不等式恒成立问题一般要转化为函数最值来研究.

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