Question

16．求10cot（arc cot3+arccot7+arccot13+arccot21）的值．

Answer 1

分析 由条件利用反正切函数的定义把要求的式子化为$\frac{10}{tan（arctan\frac{1}{3}+atctan\frac{1}{7}+arctan\frac{1}{13}+arctan\frac{1}{21}）}$，再利用两角和差的正切公式求得该式子分母的值，可得该式子的值．

解答 解：10cot（arc cot3+arccot7+arccot13+arccot21）=$\frac{10}{tan（arctan\frac{1}{3}+atctan\frac{1}{7}+arctan\frac{1}{13}+arctan\frac{1}{21}）}$，
∵tan（arctan$\frac{1}{3}$+arctan$\frac{1}{7}$）=$\frac{tan（arctan\frac{1}{3}）+tan（arctan\frac{1}{7}）}{1-tan（arctan\frac{1}{3}）tan（arctan\frac{1}{7}）}$=$\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{3}•\frac{1}{7}}$=$\frac{1}{2}$，
tan（arctan$\frac{1}{13}$+arctan$\frac{1}{21}$）=$\frac{tan（arctan\frac{1}{13}）+tan（arctan\frac{1}{21}）}{1-tan（arctan\frac{1}{13}）tan（arctan\frac{1}{21}）}$=$\frac{\frac{1}{13}+\frac{1}{21}}{1-\frac{1}{13}•\frac{1}{21}}$=$\frac{1}{8}$，
∴tan[（arctan$\frac{1}{3}$+arctan$\frac{1}{7}$）+（arctan$\frac{1}{13}$+arctan$\frac{1}{21}$）]=$\frac{tan（arctan\frac{1}{3}+arctan\frac{1}{7}）+tan（arctan\frac{1}{13}+arctan\frac{1}{21}）}{1-tan（arctan\frac{1}{3}+arctan\frac{1}{7}）tan（arctan\frac{1}{13}+arctan\frac{1}{21}）}$
=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{2}•\frac{1}{8}}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{10}{tan（arctan\frac{1}{3}+atctan\frac{1}{7}+arctan\frac{1}{13}+arctan\frac{1}{21}）}$=$\frac{10}{\frac{2}{3}}$=15，
即10cot（arc cot3+arccot7+arccot13+arccot21）=15．

点评 本题主要考查反正切函数的定义，两角和差的正切公式的应用，属于中档题．