【题目】已知抛物线:
,不过坐标原点
的直线
交于
,
两点.
(Ⅰ)若,证明:直线
过定点;
(Ⅱ)设过且与
相切的直线为
,过
且与
相切的直线为
.当
与
交于点
时,求
的方程.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题设,
.
(Ⅰ)设直线的方程为,联立方程组,得到则
,再由
,
所以,代入求得
,即可判定直线过定点.
(Ⅱ)解法一:设直线的方程为,联立方程组,利用
,求得
,
得到韦达定理,在利用斜率公式,求得直线的斜率,进而得到直线的方程;
解法二:由,则过
且与
相切的直线
的斜率为
,
的斜率为
,转化为
方程
的两个实根,求得
的值,进而求解直线的方程;
解法三:由,则过
且与
相切的直线
的斜率为
,同理,
的斜率为
.
得到切线,
的方程,代入点
,得
,
,即可得到直线的方程.
试题解析:
设,
.
(Ⅰ)解:显然直线的斜率存在,设为
,直线的方程为
.由题意,
.
由,得
.
由题意,该方程的判别式,即
.
则,
.
因为,所以
,所以
,
即,即
.
所以.
所以.解得
(舍去),或
.
当时,
,满足
式.
所以直线的方程为
.直线
过定点
.
(Ⅱ)解法一:过点且与
:
相切的直线的斜率必存在,设其斜率为
,则其方程为
,即
.
由消去
并整理得
.
由判别式,解得
.
不妨设的斜率
,则
的斜率
.
由韦达定理,得,即
.
.所以
.
同理可得.
直线的方程为
,
即直线的方程为
.
解法二:,所以过
且与
相切的直线
的斜率为
.
同理,的斜率为
.
:
,即
:
.同理
:
.
因为与
的交点
的坐标为方程组
的解,
所以,且
.
所以方程,即
的两个实根是
,
.
由,解得
,
.
又点,
在
:
上,可得
,
.
直线的方程为
,
即直线的方程为
.
解法三:,所以过
且与
相切的直线
的斜率为
.同理,
的斜率为
.
所以,切线:
,即
.
又是抛物线
上的点,所以
,即
.
故切线的方程为
.同理切线
的方程为
.
又切线与切线
均过点
,故
,
.
所以切点、
的坐标适合方程
.所以
的方程为
.
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【题目】已知圆:
关于直线
:
对称的圆为
.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)过点作直线
与圆
交于
,
两点,
是坐标原点,是否存在这样的直线
,使得在平行四边形
(
和
为对角线)中
?若存在,求出所有满足条件的直线
的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的上顶点为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程及其离心率;
(2)斜率为的直线
与椭圆
交于
两个不同的点,当直线
的斜率之积是不为0的定值时,求此时
的面积的最大值.
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【题目】设函数(
,
,
,
)的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的最小值及
取到最小值时自变量x的集合;
(3)将函数图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的(
)倍,得到函数
的图象.若函数
在区间
上恰有5个零点,求t的取值范围.
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【题目】已知函数的周期为
,图象的一个对称中心为
,若先把函数
的图象向左平移
个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.
(1)求函数与
的解析式;
(2)设函数,试判断
在
内的零点个数.
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【题目】某公司生产某种产品的速度为千克/小时,每小时可获得的利润是
元,其中
.
(1)要使生产该产品每小时获得的利润为60元,求每小时生产多少千克?
(2)要使生产400千克该产品获得的利润最大,问:此公司每小时应生产多少千克产品?并求出最大利润.
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