Question

若△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且

OA

+

AB

+

OC

=

0

，且|

OA

|=|

AB

|，则

CA

•

CB

=（　　）

• A、3
• B、

  3

• C、

  3

  2

• D、2

  3

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：如图所示，由

OA

+

AB

+

OC

=

OB

+

.

OC

=

0

，可得B，O，C三点共线，即BC是⊙O的直径．由于|

OA

|=|

AB

|，可得|

AB

|=

1

2

|

BC

|，因此∠ACB=30°．再利用数量积的定义即可得出．

解答： 解：如图所示，
∵

OA

+

AB

+

OC

=

OB

+

.

OC

=

0

，
∴B，O，C三点共线，即BC是⊙O的直径．
∴∠BAC=Rt∠．
∵|

OA

|=|

AB

|，
∴|

AB

|=

1

2

|

BC

|，
∴∠ACB=30°．
∴|

CA

|=

3

．
∴

CA

•

CB

=|

CA

||

CB

|cos30°=2×

3

×

3

2

=3．
故选：A．

点评：本题考查了向量的运算、数量积定义、圆的性质、含30°角的直角三角形的性质，考查了计算能力，属于基础题．