Question

7．如图所示，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DB=BC，DB⊥AC，点M是棱BB₁上一点．
（1）求证：B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）求证：MD⊥AC．

Answer 1

分析 （1）利用构造平行四边形方法证明BB₁D₁D是平行四边形，从而得到B₁D₁∥平面A₁BD；
（2）利用线面垂直的定义来证明AC⊥平面BB₁D，从而得到MD⊥AC．

解答 （1）证明：由直四棱柱，得BB₁∥DD₁，
又∵BB₁=DD₁，∴BB₁D₁D是平行四边形，
∴B₁D₁∥BD．
而BD?平面A₁BD，B₁D₁?平面A₁BD，
∴B₁D₁∥平面A₁BD．
（2）证明∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC．
又∵BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，∴AC⊥平面BB₁D．
而MD?平面BB₁D，∴MD⊥AC．

点评 本题属于空间立体几何线面平行与判定的高考常考题型，考生应熟悉应用构造平行四边形法证明线面平行，熟悉应用相关线面垂直判定的知识点．