Question

已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.

（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，；

（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.

 

Answer 1

（1），极小值为无极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：

解题思路：（1）利用导数的几何意义求，再进一步求极值；（2）构造函数，即证；

（3）结合（2）的结论，对进行分类讨论.

规律总结：这是一道典型的导函数问题，综合性较强，要求我们要有牢固的基础知识（包括函数的性质、常见解题方法、数形结合等）.

试题解析：解法一：（1）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.

（2）令,则.由（1）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.

（3）①若,则.又由（2）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.

综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

解法二：（1）同解法一

（2）同解法一

（3）对任意给定的正数c，取

由（2）知，当x>0时，，所以

当时，

因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.

考点：1.导数的几何意义；2.导数在研究函数中的应用.