Question

已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N^*.

(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；

(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

Answer 1

 (1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，

所以f(1)＝g(1)；

当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，

所以f(2)<g(2)；

当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，

所以f(3)<g(3)．

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．

①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．

②假设当n＝k(k≥3，k∈N^*)时不等式成立，

即1＋＋＋＋…＋<－，

那么，当n＝k＋1时，

，

所以f(k＋1)<－＝g(k＋1)．

由①②可知，对一切n∈N^*，

都有f(n)≤g(n)成立．