Question

已知函数f（x）=9^x-3^x+1+c（其中c是常数）．
（1）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立，求实数c的取值范围；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0成立，求实数c的取值范围；
（3）若方程f（x）=c•3^x在[0，1]上有唯一实数解，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）换元法化为当t∈[1，3]时，g（t）=t²-3•t+c＜0恒成立，再化恒成立问题为最值问题；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0，则存在t∈[1，3]，使g（t）=t²-3•t+c＜0．从而化为最值问题；
（3）若方程f（x）=c•3^x在[0，1]上有唯一实数解，则方程t²-（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一实数解．从而由单调性及零点判定定理判断．

解答： 解：（1）f（x）=9^x-3^x+1+c=（3^x）²-3•3^x+c，
令3^x=t，当x∈[0，1]时，t∈[1，3]．
问题转化为当t∈[1，3]时，g（t）=t²-3•t+c＜0恒成立．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，
即9-9+c＜0，
解得c＜0．
∴实数c的取值范围是（-∞，0）；
（2）若存在x₀∈[0，1]，使f（x₀）＜0，
则存在t∈[1，3]，使g（t）=t²-3•t+c＜0．
于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值g（

3

2

）=（

3

2

）²-3•

3

2

+c＜0，解得c＜

9

4

；
∴实数c的取值范围是（-∞，

9

4

）；                             
（3）若方程f（x）=c•3^x在[0，1]上有唯一实数解，
则方程t²-（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一实数解．
因△=（3+c）²-4c＞0，
故t²-（3+c）t+c=0在[1，3]上不可能有两个相等的实数解．
令h（t）=t²-（3+c）t+c．
因h（1）=-2＜0，故只需h（3）=-2c≥0，
解得c≤0．
∴实数c的取值范围是（-∞，0]．

点评：本题考查了恒成立问题及存在性问题，属于中档题．