Question

设函数f（x）=x²+mln（x+1），若函数是定义域上的单调函数，求m的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：根据题意，f′（x）=2x+

m

x+1

，在（-1，+∞）上的符号只有一种，即f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，再根据函数f′（x）的特征可得在（-1，+∞）上f′（x）总有正值，f′（x）≤0不可能恒成立，解f′（x）≥0恒成立，可得m取值范围是[

1

2

，+∞）；

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+mln（x+1），
∴f'（x）=

2x2+2x+m

x+1

，且f（x）在定义域上是单调函数，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立，
若f'（x）≥0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+m≥0在（-1，+∞）上恒成立．
即m≥-2x²-2x=-2x（x+1）在（-1，+∞）上恒成立，
∵当x∈（-1，+∞）时，-2x（x+1）=-2（x+

1

2

）2+

1

2

≤

1

2

∴m≥

1

2

；
若f'（x）≤0，∵x+1＞0，
∴2x²+2x+m≤0在（-1，+∞）上恒成立．
即m≤-2（x²+x）在（-1，+∞）上恒成立．
∵-2（x²+x）在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数m使f'（x）≤0恒成立．
综上可知，实数b的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题以函数为载体，考查利用导数研究函数的单调性，正确求导是解题的关键，分类讨论是解题与思考的难点．