Question

9．若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数为零，我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记做b|a，若a=C${\;}_{100}^{0}$+C${\;}_{100}^{1}$•8+…+C${\;}_{100}^{99}$•8⁹⁹+C${\;}_{100}^{100}$•8¹⁰⁰，且b|（a-1），则b 的值可以是（　　）

• A． 8³
• B． 9³
• C． 10³
• D． 11³

Answer 1

分析 利用二项式定理可得：a=C${\;}_{100}^{0}$+C${\;}_{100}^{1}$•8+…+C${\;}_{100}^{99}$•8⁹⁹+C${\;}_{100}^{100}$•8¹⁰⁰=（1+8）¹⁰⁰=（10-1）¹⁰⁰，展开可得：a-1=10³×$（1{0}^{97}-{∁}_{100}^{1}•1{0}^{96}+$…-${∁}_{100}^{97}$+494），即可得出结论．

解答 解：∵a=C${\;}_{100}^{0}$+C${\;}_{100}^{1}$•8+…+C${\;}_{100}^{99}$•8⁹⁹+C${\;}_{100}^{100}$•8¹⁰⁰=（1+8）¹⁰⁰=（10-1）¹⁰⁰
=$1{0}^{100}+{∁}_{100}^{1}$10⁹⁹×（-1）+…+${∁}_{100}^{98}×1{0}^{2}$-${∁}_{100}^{99}$×10+1，
∴a-1=10³×$（1{0}^{97}-{∁}_{100}^{1}•1{0}^{96}+$…-${∁}_{100}^{97}$+494），
∴10³|（a-1），
则b=10³．
故选：C．

点评 本题考查了二项式定理的应用、整除的方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．