Question

17．某冻品店为了解气温对其销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y（单位：千克）与该地当日最低气温x（单位：℃）的数据作为样本，如表：

x	3	6	9	8	9
y	12	10	8	8	7

（1）利用最小二乘法求出y与x的回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（2）设该地1月份的日最低气温X～N（μ_x，σ_x²），其中μ_x近似为样本平均数$\overline{x}$，σ_x²近似为样本方差S_x²，该地1月份的最高气温ξ与最低气温x的关系为ξ=2x+1且ξ～N（μ_ξ，σ_ξ²，）），其中μ_ξ近似为最高气温的平均数，σ_ξ²近似为最高气温的方差s_ξ²，求p（10.4≤ξ≤24.2）．
附：①$\sqrt{130}$≈11.5，$\sqrt{3.2}$≈1.8，若X～N（μ，σ²），
则p（μ-σ≤_ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ-2σ≤ξ≤μ+2σ）=0.9544
附：②回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中，$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x．

Answer 1

分析 （1）根据题意计算平均数与回归系数，写出回归方程；
（2）由平均数与方差的定义，求出μ_ξ、σ_ξ²，
再根据正态分布的概率公式计算P（10.4≤ξ≤24.2）的值．

解答 解：（1）根据题意，n=5，$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}=\frac{35}{5}=7$，
$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_i}=\frac{45}{5}=9$；---------（2分）
∴$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）
=（3-7）（12-9）+（6-7）（10-9）+（9-7）（8-9）+（8-7）（8-9）+（9-7）（7-9）=-20
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（3-7）²+（6-7）²+（9-7）²+（8-7）²+（9-7）²=26；--------（4分）
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-20}{26}$=-$\frac{10}{13}$，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=9-（-$\frac{10}{13}$）×7=$\frac{187}{13}$，-------（5分）
∴所求的回归方程是$\hat y=-\frac{10}{13}x+\frac{187}{13}$；--------（6分）
（2）由（1）知$\overline{x}$=7，且该地当日的最低气温x的方差为
s²=$\frac{1}{5}$×$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=$\frac{26}{5}$；---------（7分）
μ_ξ=2x+1=15，σ_ξ²=s²=4×$\frac{26}{5}$，
∴σ_ξ=$\frac{2}{5}$$\sqrt{130}$≈4.6；----------（9分）
P（10.4≤ξ≤24.2）=P（μ_ξ-σ_ξ≤ξ≤μ_ξ+2σ_ξ）
=P（μ_ξ-σ_ξ≤ξ≤μ_ξ）+P（μ_ξ≤ξ≤μ_ξ+2σ_ξ）
=$\frac{1}{2}$P（μ_ξ-σ_ξ≤ξ≤μ_ξ+σ_ξ）+$\frac{1}{2}$P（μ_ξ-2σ_ξ≤ξ≤μ_ξ+2σ_ξ）
=$\frac{1}{2}$×0.6826+$\frac{1}{2}$×0.9544
=0.3413+0.4772
=0.8185．----------（12分）

点评 本题考查了线性回归方程与正态分布的概率计算问题，是难题．