Question

18．设函数f（x）=ax²+（b-2）x+3（a≠0）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），求a，b的值；
（2）若f（1）=3，a＞0，b＞0，求$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由不等式f（x）＞0的解集（-1，3）．-1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；
（2）由f（1）=3，得到a+b=2，将所求变形为$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）展开，整理为基本不等式的形式求最小值．

解答 解：（1）由f（x）＞0的解集是（-1，3）知-1，3是方程f（x）=0的两根，
由根与系数的关系可得$\left\{\begin{array}{l}{-1×3=\frac{3}{a}}\\{-1+3=-\frac{b-2}{a}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）f（1）=3得a+b=2，
∵a＞0，b＞0
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$）$≥\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{b}{a}×\frac{4a}{b}}$）=$\frac{9}{2}$；
当且仅当b=2a时取得等号．
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

点评 此题考查了一元二次不等式与方程根的关系以及利用基本不等式求代数式的最小值；关键是适当变形．