Question

若f（x）=x+

a

x-1

在x≥3时有最小值4，则a=

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：由f（x）=x+

a

x-1

，可得f′(x)=1-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-a

(x-1)2

，分子的△=4-4（1-a）=4a．对a分类讨论：当a≤0时，0＜a≤4时，a＞4时，再利用导数与函数的单调性极值最值的关系即可得出．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x-1

，∴f′(x)=1-

a

(x-1)2

=

x2-2x+1-a

(x-1)2

，分子的△=4-4（1-a）=4a．
当a≤0时，△≤0，x≥3时f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增，∴当x=3时，函数f（x）有最小值4，∴3+

a

2

=4，解得a=2，与a≤0矛盾，应舍去；
当a＞0时，△＞0，令f′（x）=0，解得x=

2±2 a

2

=1±

a

，∴f′(x)=

[x-(1+ a )][x-(1- a )]

(x-1)2

．∵x≥3，∴x-(1-

a

)=x-1+

a

＞2．
①当1+

a

≤3即0＜a≤4时，函数f（x）在x≥3时单调递增，∴当x=3时，函数f（x）有最小值4，∴3+

a

2

=4，解得a=2，满足条件；
②当1+

a

＞3即a＞4时，令f′（x）=0，解得x=1+

a

，可知当x=1+

a

时，函数f（x）有最小值4，∴1+

a

+

a

1+ a -1

=4，解得a=

9

4

＜4，不满足条件，应舍去．
综上可得：只有当a=2时，满足条件．
故答案为：2．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值的方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．