Question

18．已知函数f（x）=mlnx-$\frac{2n}{x}$（m，n∈R）在x=1处有极值1．
（1）求实数m，n的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用函数的极值为1，列出方程组，求解即可．
（2）化简函数的解析式，利用导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的单调区间即可．

解答 解：（1）由条件函数f（x）=mlnx-$\frac{2n}{x}$得f′（x）=$\frac{m}{x}+\frac{2n}{{x}^{2}}$．
因为f（x）在x=1处有极值1，得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=1\\ f'（1）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2n=1}\\{m+2n=0}\end{array}\right.$解得m=1，n=-$\frac{1}{2}$．
经验证满足题意．…（6分）
（2）由（1）可得f（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，得x＞1；f′（x）＜0，得0＜x＜1．
所以函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）． …（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．