Question

已知圆C的圆心C在第一象限，且在直线3x-y=0上，该圆与x轴相切，且被直线x-y=0截得的弦长为2

7

，直线l：kx-y-2k+5=0与圆C相交．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求出直线l所过的定点；当直线l被圆所截得的弦长最短时，求直线l的方程及最短的弦长．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设圆心坐标，根据条件确定圆心和半径即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系，求出直线的斜率即可．

解答： 解：（Ⅰ）设圆心为（a，b），（a＞0，b＞0），半径为r，
则b=3a，
则r=3a，
圆心到直线的距离d=

|a-3a|

12+12

=

2

a，
∵圆被直线x-y=0截得的弦长为2

7

，
∴(

2

a)2+(

7

)2=(3a)2，
即a²=1，解得a=1，
则圆心为（1，3），半径为3，
则圆C的标准方程（x-1）²+（y-3）²=9；
（Ⅱ）由kx-y-2k+5=0得y=k（x-2）+5，
则直线过定点M（2，5）．
要使弦长最短，则满足CM⊥l，
即k=-

1

kCM

=-

1

2

，
则直线方程为x+2y-12=0，
|CM|=

5

，
则最短的弦长为2

9-( 5 )2

=2

4

=4．

点评：本题主要考查圆的方程的求解以及直线过定点问题，根据直线和圆的位置关系结合点到直线的距离公式是解决本题的关键．