Question

设A、B分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右顶点（a＞b＞0），（1，

3

2

）为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P（4，x），（x≠0），若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由点（1，

3

2

）在椭圆上得到a，b的关系式，再由a=2c及隐含条件联立求得a，b，则椭圆方程可求；
（2）设出P，M的坐标，得到AP的点斜式方程，和椭圆联立求得M的坐标，同理求得n的坐标，由

BM

与

BN

的数量积小于0．即可证明∠MBN为钝角．

解答： 解：（1）解：∵（1，

3

2

）为椭圆上一点，
∴

12

a2

+

9

4b2

=1，即，
又a=2c，a²=b²+c²，
∴a=2，b=

3

．
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）（2）证明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
设P（4，t），M（x_M，y_M），
则直线PA的方程为：y=

t

6

（x+2），（t≠0）．
由

y= t 6 (x+2) 3x2+4y2-12=0

，得 （27+t²）x²+4t²x+4t²-108=0．
∵直线PA与椭圆相交于异于A的点M，
∴-2+x_M=-

4t2

t2+27

，x_M=

54-2t2

t2+27

，
由y_M=

t

6

（x_M+2），得y_M=

18t

t2+27

．
M（

54-2t2

t2+27

，

18t

t2+27

）．
同理求得N（

2t2-6

t2+3

，

-6t

t2+3

）．
∴

BM

=（

-4t2

t2+27

，

18t

t2+27

），

BN

=（

-12

t2+3

，

-6t

t2+3

）．
由

BM

•

BN

=

48t2-108t2

(t2+27)(t2+3)

＜0．
∴cos∠MBN＜0，
即证明∠MBN为钝角．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，特别是对于（2）的证明，转化为两向量的数量积小于0使问题变的相应简洁，考查了学生的计算能力，是压轴题．