Question

已知曲线S：y=3x-x³及点P（2，2），则过点P可向曲线S引切线，其切线共有

 

条．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：求函数的导数，设切点为M（a，b），利用导数的几何意义，求切线方程，利用点P（2，2）在切线上，求出切线条数即可．

解答： 解：∵y=3x-x³，
∴y'=f'（x）=3-3x²，
∵P（2，2）不在曲线S上，
∴设切点为M（a，b），则b=3a-a³，
f'（a）=3-3a²
则切线方程为y-（3a-a³）=（3-3a²）（x-a），
∵P（2，2）在切线上，
∴2-（3a-a³）=（3-3a²）（2-a），即2a³-6a²+4=0，
∴a³-3a²+2=0，即a³-a²-2a²+2=0，
∴（a-1）（a²-2a-2）=0，
解得a=1或a=1±

3

，
∴切线的条数为3条，
故答案为：3．

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力．注意点P不在曲线上，所以必须单独设出切点．