Question

15．在椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1上是否存在关于直线l：y=2x-1对称的相异两点？

Answer 1

分析 假设存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点关于直线l对称，设出直线AB方程y=-$\frac{1}{2}$x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，求得AB中点坐标，代入直线2x-y-1=0，求出m值，进一步求得AB中点坐标，即可说明不存在满足题设条件的相异的两点．

解答 解：假设存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点关于直线l对称，
∵直线l：y=2x-1，
∴${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，
∴直线AB方程为y=-$\frac{1}{2}$x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，得x²-mx+m²-12=0，
∴AB中点为（$\frac{m}{2}，\frac{3m}{4}$），
代入直线2x-y-1=0上，得m=4．                                      
∴AB中点为（2，3），不在椭圆内部，
∴不存在满足题设条件的相异的两点．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线方程，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．