Question

13．已知二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，由切线方程和极值点，可得f′（0）=-2，f′（1）=0，解方程可得a=1，b=-2，即有函数f（x）的解析式；
（2）求出函数g（x）的导数，求得g（x）的单调区间，即可得到极值．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+bx-3，可得f′（x）=2ax+b，
由题设可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）=-2}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x²-2x-3．
（2）由题意得g（x）=xf（x）=x³-2x²+x，
所以g′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{3}$，x₂=1．

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	增	$\frac{4}{27}$	减	0	增

所以函数g（x）的单调递增区间为（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）．
在x=1有极小值为0，在x=$\frac{1}{3}$有极大值$\frac{4}{27}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，正确求导和解二次不等式是解题的关键．