Question

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，O为SC的中点，且SC=6，AB=2，∠ASC=∠BSC=30°，则此棱锥的体积为（　　）

• A、

  10 3

  7

• B、

  2 3

  9

• C、

  23

  2

• D、

  23

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S_△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．

解答： 解：作AB中点D，连接OD，CD
因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=6，∠ASC=30° 得：AC=3，SA=3

3

又在Rt△SBC中，SC=6，∠BSC=30° 得：BC=3，SB=3

3

则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点，
所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=

SA2-AD2

=

26

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=

AC2-AD2

=2

2

又SD交CD于点D
所以：AB⊥平面SCD
所以棱锥S-ABC的体积：V=

1

3

AB•S_△SCD，
因为：SD=

26

，CD=2

2

，SC=6
所以由余弦定理得：cos∠SDC=

26+8-36

2× 26 ×2 2

=-

1

4 13

则：sin∠SDC=

207

4 13

由三角形面积公式得△SCD的面积S=

1

2

SD•CD•sin∠SDC=

1

2

×

26

×2

2

×

207

4 13

=

3 23

2

所以：棱锥S-ABC的体积：V=

1

3

AB•S_△SCD=

1

3

×2×

3 23

2

=

23

．
故选D．

点评：本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．