Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为

2

，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，化简即可得到角A；
（Ⅱ）运用三角形的面积公式及正弦定理，结合两角和差的正弦公式，化简整理，即可得到最大值．

解答： 解：（Ⅰ）acosC=（2b-c）cosA，即为
acosC+ccosA=2bcosA，
由正弦定理，可得，sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
sin（A+C）=2sinBcosA即sinB=2sinBcosA，
∵B∈（0，π）
∴sinB≠0
∴cosA=

1

2

，
∵A∈（0，π）
∴A=

π

3

；

（Ⅱ）由于A=

π

3

，则B+C=

2π

3

，可设B=

π

3

-α，C=

π

3

+α，
由正弦定理，可得，b=2

2

sinB，c=2

2

sinC，
则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=4sinBsinC•

3

2

=2

3

sin（

π

3

-α）sin（

π

3

+α）=2

3

（

3

2

cosα-

1

2

sinα）（

3

2

cosα+

1

2

sinα）
=2

3

（

3

4

-sin²α）≤2

3

×

3

4

=

3 3

2

．
当sinα=0，即有B=C=

π

3

，S取得最大值，且为

3 3

2

．

点评：本题考查正弦定理和面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和诱导公式的运用，考查运算能力，属于中档题．