Question

如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，A1C1⊥B1D ，BC＝1，AD＝AA1＝3.

（Ⅰ）证明：平面ACD1⊥平面B1BDD1；

（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

Answer 1

方法一　(1)证明

 ∵　AA1∥CC1且AA1=CC1，∴AC∥A1C1

∵A1C1⊥B1D ，∴AC⊥B1D

因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以AC⊥BB1. ，

所以AC⊥平面B1BDD1   又因为AC面ACD1，       平面ACD1⊥平面B1BDD1；

(2)解　因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ).如图，连接A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，

所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形.

于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.

由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，

因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，

即AB＝＝.

连接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，

即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，

即cos(90°－θ)＝.  

从而sin θ＝.   即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.

方法二　(1)证明　易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.

设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，  C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).

从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).

因为AC⊥BD，所以·－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去).

于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，

因为＝－3＋3＋0＝0，  所以⊥，即AC⊥B1D.

 因为BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以AC⊥BB1. ，所以AC⊥平面B1BDD1

又因为AC面ACD1，       平面ACD1⊥平面B1BDD1；

(2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).

设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即

令x＝1，则n＝(1，－，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.