Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对任意x∈D，等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立．
（1）试判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；
（2）证明f（x）=log₂x属于集合M，并写出一个满足条件的常数k．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断,一次函数的性质与图象,对数的运算性质

专题：集合

分析：（1）直接代入等式f(kx)=

k

2

+f(x)，化简即可；（2）则需要利用等式f(kx)=

k

2

+f(x)，建立关系式，然后得到满足条件的常数k的值．

解答： 解：（1）若等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立，
则a(k-1)x-

k

2

=0恒成立，
∵a≠0
∴

k-1=0 k 2 =0

，
∴不存在非零常数k，
∴函数f（x）=ax+b（a≠0）不属于集合M．
（2）证明：对任意x∈（0，+∞），f（kx）=log₂（kx），
∴

k

2

+log2x=log2[2(

k

2

)x]，
∵函数y=x²与y=2^x图象有交点，
∴存在非零常数k，使得k=2

k

2

即等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立．
非零常数k=2或4．
故答案为非零常数k=2或4．

点评：本题重点考查集合的基本运算、元素与集合的关系等知识，考查比较综合，属于中档题．