Question

8．设函数f（x）=x³+3x²+1，已知a≠0，且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）²，x∈R，则实数a=-2，b=1．

Answer 1

分析 根据函数解析式化简f（x）-f（a），再化简（x-b）（x-a）²，根据等式两边对应项的系数相等列出方程组，求出a、b的值．

解答 解：∵f（x）=x³+3x²+1，
∴f（x）-f（a）=x³+3x²+1-（a³+3a²+1）
=x³+3x²-（a³+3a²）
∵（x-b）（x-a）²=（x-b）（x²-2ax+a²）=x³-（2a+b）x²+（a²+2ab）x-a²b，
且f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2a-b=3}\\{{a}^{2}+2ab=0}\\{{a}^{3}+3{a}^{2}={a}^{2}b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$（舍去），
故答案为：-2；1．

点评 本题考查函数与方程的应用，考查化简能力和方程思想，属于中档题．