Question

已知函数f（x）=-

1

2

x²+blnx在区间[

2

，+∞）上是减函数，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：由f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，
当b≤0时，在区间[

2

，+∞）上f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）=-

1

2

x²+blnx在区间[

2

，+∞）上是减函数，满足条件；
当b＞0时，在区间[

b

，+∞）上f′（x）≤0恒成立，由函数f（x）=-

1

2

x²+blnx在区间[

2

，+∞）上是减函数，可得：

b

≤

2

，
最后综合讨论结果，可得满足条件的b的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=-

1

2

x²+blnx，
∴f′（x）=-x+

b

x

=

b-x2

x

，
当b≤0时，在区间[

2

，+∞）上f′（x）＜0恒成立，
此时函数f（x）=-

1

2

x²+blnx在区间[

2

，+∞）上是减函数，满足条件；
当b＞0时，在区间[

b

，+∞）上f′（x）≤0恒成立，
由函数f（x）=-

1

2

x²+blnx在区间[

2

，+∞）上是减函数，
可得：

b

≤

2

，即0＜b≤2，
综上所述b≤2，
即b的取值范围是（-∞，2]，
故答案为：（-∞，2]

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，是导数法研究函数单调性的简单应用，难度不大，属于基础题．