Question

（1）已知：a，b，x均是正数，且a＞b，求证：1＜

a+x

b+x

＜

a

b

；
（2）当a，b，x均是正数，且a＞b，求证

b

a

＜

b+x

a+x

＜1；
（3）证明：△ABC中，

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2．

Answer 1

考点：不等式的证明,三角函数恒等式的证明

专题：不等式

分析：（1）证

a+x

b+x

＞1，a＞b，a+x＞b+x，不等式两边同除以b+x即可，证

a+x

b+x

＜

a

b

，作差即可；
（2）证明过程同（1）；
（3）根据正弦定理得到，左边=

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

，由（2）便可得到：

a

b+c

＜

2a

b+c+a

，

b

c+a

＜

2b

c+a+b

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，所以

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2，所以原不等式成立．

解答： 证：（1）∵a，b，x均是正数，且a＞b；
∴a+x＞b+x，∴

a+x

b+x

＞1；
∵

a+x

b+x

-

a

b

=

b(a+x)-a(b+x)

(b+x)b

=

x(b-a)

(b+x)b

；
b-a＜0，∴

a+x

b+x

＜

a

b

；
∴1＜

a+x

b+x

＜

a

b

；
（2）当a，b，x均是正数，且a＞b时，a+x＞b+x，∴

b+x

a+x

＜1；

b

a

-

b+x

a+x

=

b(a+x)-a(b+x)

a(a+x)

=

x(b-a)

a(a+x)

；
b-a＜0，∴

b

a

＜

b+x

a+x

；
∴

b

a

＜

b+x

a+x

＜1；
（3）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2r；
sinA=

a

2r

，sinB=

b

2r

，sinC=

c

2r

；
∴

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

=

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

；
∵b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c；
∴由（2）得

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

c+a+b

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

；
∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2；
∴

sinA

sinB+sinC

+

sinB

sinC+sinA

+

sinC

sinA+sinB

＜2．

点评：考查作差法证明不等式，正弦定理，将角的关系转化成边的关系，以及两边之和大于第三边．