Question

函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，则a的取值范围为（　　）

• A、（-∞，

  1

  5

  ]
• B、[

  1

  5

  ，+∞）
• C、（0，

  1

  5

  ]
• D、[0，

  1

  5

  ]

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，①a＞0时，可得-

2(a-1)

2a

=-

a-1

a

≥4，解得0＜a≤

1

5

；②a＜0时，不符合；③a=0时，符合题意，据此解答即可．

解答： 解：函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
①a＞0时，可得-

2(a-1)

2a

=-

a-1

a

≥4，
解得a≤

1

5

，
所以0＜a≤

1

5

；
②a＜0时，函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2的图象开口向下，
函数f（x）在区间（-∞，4]上不能为减函数；
③a=0时，可得f（x）=-2x+2，
满足f（x）在区间（-∞，4]上为减函数，
综上，可得a的取值范围为[0，

1

5

]．
故选：D．

点评：本题主要考查了二次函数的性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题．