Question

已知函数f（x）=ax²-4x+2，函数g（x）=（

1

3

）^f（x）
（1）若f（2+π+x）=f（2-π-x），求f（x）的解析式；
（2）若g（x）有最大值3，求a的值，并求出g（x）的值域；
（3）已知a≤1，若函数y=f（x）-log₂

x

8

在区间[1，2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（2+π+x）=f（2-π-x），f（x）的对称轴x=2，求解即可．
（2）函数f（x）=ax²-4x+2的最小值为-1，根据复合函数得出

a＞0 4a×2-42 4a =-1

求解即可．
（3）令r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x，则可以转化为；函数r（x）与函数s（x）的图象在区间[1，2]上有唯一的交点，分类讨论得出相应的不等式组即可．

解答： 解；（1）∵f（2+π+x）=f（2-π-x），
∴f（x）的对称轴x=2，
即

2

a

=2，a=1．
∴f（x）=x²-4x+2，
（2）∵函数g（x）=（

1

3

）^f（x），
g（x）有最大值3，
∴函数f（x）=ax²-4x+2的最小值为-1，
∴

a＞0 4a×2-42 4a =-1

解得：a=

4

3

，
∴f（x）=

4

3

x²-4x+2=

4

3

（x-

3

2

）²-1≥-1，
∵函数g（x）=（

1

3

）^f（x），
∴根据复合函数求解：g（x）的值域（0，3]
（3）∵a≤1，若函数y=f（x）-log₂

x

8

=ax²-4x+5-log₂x
令r（x）=ax²-4x+5，s（x）=log₂x，
则可以转化为；函数r（x）与函数s（x）的图象在区间[1，2]上有唯一的交点，
①当a=0时，r（x）=-4x+5，s（x）=log₂x，根据 单调性可判断．
∵

r(1)=1＞s(1)=0 r(2)=-3＜s(2)=1

∴函数r（x）与函数s（x）的图象在区间[1，2]上有唯一的交点，
②当a≤1，时，抛物线r（x）的开口向下，对称轴x=

2

a

＜0＜1，
∴r（x）=ax²-4x+5在区间[1，2]单调递减，
∵s（x）=log₂x在区间[1，2]单调递增，
∴必需

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

即

a+1≥0 4a-3≤1

得出：-1≤a≤1，由a≤0，
可知；-1≤a＜0，
③当0＜a≤1时，抛物线r（x）的开口向上，对称轴x=

2

a

≥2，
∴r（x）=ax²-4x+5在区间[1，2]单调递减，
s（x）=log₂x在区间[1，2]单调递增，
∴必需

r(1)≥s(1) r(2)≤s(2)

即

a+1≥0 4a-3≤1

得出：-1≤a≤1，由根据0＜a≤1，
∴0＜a≤1
综上所述：实数a的取值范围-1≤a≤1，

点评：本题考查了函数的单调性，运用判断函数图象的交点问题，转为不等式求解，关键是分类讨论得出等价的不等式组，属于中档题．