Question

13．已知函数f（x）的导函数f′（x）是二次函数，如图是f′（x）的大致图象，若f（x）的极大值与极小值的和等于$\frac{2}{3}$，则f（0）的值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由函数与导函数图象间的关系，函数的单调性对应导函数的函数值的正负，由此利用函数的单调性即可函数在某点取得极值，结合图象的对称性从而作出正确结果．

解答 解：如图示：，

∵其导函数的函数值应在（-∞，-2）上为正数，在（-2，2）上为负数，在（2，+∞）上为正数，
由导函数图象可知，函数在（-∞，-2）上为增函数，在（-2，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，
∴函数在x=-2取得极大值，在x=2取得极小值，且这两个极值点关于（0，f（0））对称，
由f（x）的极大值与极小值之和为$\frac{2}{3}$，得
f（-2）+f（2）=2f（0），
∴$\frac{2}{3}$=2f（0），
则f（0）的值为$\frac{1}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了导数在函数单调性中的应用，函数与其导函数的图象间的关系，属于中档题．