Question

14．命题：①半径为2，圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}$的扇形的周长为5；
②若α、β为第三象限角，且α＞β，则cosα＞cosβ；
③若直线的斜率是-cosθ，则其倾斜角的取值范围是[$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）∪（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}}$]；
④当x≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z））时，$\frac{sinx+tanx}{cosx+cotx}$的值恒正．其中正确的命题是①④．

Answer 1

分析 利用弧长公式计算判断①；举例说明②错误；求出斜率的范围，进一步求得倾斜角的范围判断③；化切为弦，化简后判断④．

解答 解：①半径为2，圆心角的弧度数为$\frac{1}{2}$的扇形的周长为$2×2+2×\frac{1}{2}=5$，故①正确；
②若α、β为第三象限角，且α＞β，则cosα＞cosβ，错误，如$\frac{7π}{6}$＞$-\frac{3π}{4}$，但cos$\frac{7π}{6}$＜cos（$-\frac{3π}{4}$）；
③若直线的斜率是-cosθ，则其斜率的范围是[-1，1]，倾斜角的取值范围是[0，$\frac{π}{4}$]∪[$\frac{3π}{4}$，π），故③错误；
④当x≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z））时，$\frac{sinx+tanx}{cosx+cotx}$=$\frac{\frac{sinxcosx+sinx}{cosx}}{\frac{cosxsinx+cosx}{sinx}}$=$\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}•\frac{1+cosx}{1+sinx}$恒正，故④正确．
∴正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的化简求值，是中档题．