Question

14．如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE．
（Ⅰ）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅱ）直线EA与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（法1）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连结DG，说明∠DGC是所求二面角的平面角．设AB=AC=AE=2a，转化求解cosθ=cos∠DGC，求出结果．
（法2）以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则z轴在平面EACD内，设AB=AC=AE=2a，求出平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$，平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$，利用空间向量的数量积求解即可．
（Ⅱ）设EA与平面BCD所成的角为α，EA与平面BCD的法向量所成的角为β，由（1）推出AP为平面BCD的法向量．利用空间向量的数量积求解直线EA与平面BCD所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）（法1）过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连结DG，∵ED∥AC，∴ED∥l，图1所示．

BG是平面EBD与平面ABC所成二面角的棱．
∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC，
又∵l?平面ABC，∴DC⊥l，∴l⊥平面DGC，∴l⊥DG，∴∠DGC是所求二面角的平面角．
设AB=AC=AE=2a，则CD=$\sqrt{3}a$，GC=2a，
∴GD=$\sqrt{G{C}^{2}+C{D}^{2}}=\sqrt{7}a$，
∴cosθ=cos∠DGC=$\frac{GC}{GD}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
（法2）∵∠BAC=90°，平面EACD⊥平面ABC．
∴以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则z轴在平面EACD内（如图2）．设AB=AC=AE=2a，由已知，得B（2a，0，0），E（0，a，$\sqrt{3}a$），D（0，2a，$\sqrt{3}a$）．C（0，2a，0）
∴$\overrightarrow{EB}$=$（2a，-a，-\sqrt{3}a）$，$\overrightarrow{ED}$=（0，a，0），
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EB}$且$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{ED}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ED}=0}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{2ax-ay-\sqrt{3}az=0}\\{ay=0}\end{array}\right.$
解之得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}z}\\{y=0}\end{array}\right.$
取z=2，得平面EBD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，2$）．
又∵平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
cosθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}＞|$=$\frac{2}{\sqrt{7×1}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．…（6分）
（Ⅱ）设EA与平面BCD所成的角为α，EA与平面BCD的法向量所成的角为β，由（1）可知AP⊥CD，又AP⊥BC，∴AP为平面BCD的法向量．由B、C的坐标可得点P的坐标为（a，a，0），即$\overrightarrow{AP}$=（a，a，0）；由（1）$\overrightarrow{AE}$=（0，a，$\sqrt{3}a$），∴sinα=|cosβ|=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{2}a•2a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即直线EA与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（12分）．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．