Question

11．已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{|x-1|}}-1，0＜x≤2\\ \frac{1}{2}f（x-2），x＞2\end{array}\right.$，则函数g（x）=2f（x）-1的零点个数为6．

Answer 1

分析 函数g（x）=2f（x）-1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=$\frac{1}{2}$交点的个数，数形结合可得答案．

解答 解：函数g（x）=2f（x）-1的零点个数等于函数f（x）图象与直线y=$\frac{1}{2}$交点的个数，
∵函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
当x＞0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{|x-1|}}-1，0＜x≤2\\ \frac{1}{2}f（x-2），x＞2\end{array}\right.$，
在同一坐标系画出函数的图象如下图所示，

由图可得：函数f（x）图象与直线y=$\frac{1}{2}$有6个交点，
故答案为：6．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点与方程根的关系，难度中档．